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23 | 数字计算：介绍线性代数和数值计算库

文档大纲

你好，我是吴咏炜。

科学计算在今天已经完全可以使用 C++ 了。我不是从事科学计算这一领域的工作的，不过，在工作中也多多少少接触到了一些计算相关的库。今天，我就给你介绍几个有用的计算库。

Armadillo

说到计算，你可能首先会想到矩阵、矢量这些东西吧？这些计算，确实就是科学计算中的常见内容了。这些领域的标准，即是一些 Fortran 库定下的，如：

  • BLAS [1]
  • LAPACK [2]
  • ARPACK [3]

它们的实现倒不一定用 Fortran，尤其是 BLAS：

  • OpenBLAS [4] 是用汇编和 C 语言写的
  • Intel MKL [5] 有针对 Intel 的特定 CPU 指令集进行优化的汇编代码
  • Mir GLAS [6] 是用 D 语言写的

不管实现的方法是哪一种，暴露出来的函数名字是这个样子的：

  • ddot
  • dgemv
  • dsyrk
  • sgemm
  • ……

这个接口的唯一好处，应该就是，它是跨语言并且跨实现的😅。所以，使用这些函数时，你可以切换不同的实现，而不需要更改代码。唯一需要修改的，通常就是链接库的名字或位置而已。

假设我们需要做一个简单的矩阵运算，对一个矢量进行旋转：


$PRP′​=[1 0​]=[cos(θ)sin(θ)​−sin(θ)cos(θ)​]=R⋅P​$

这么一个简单的操作，用纯 C 接口的 BLAS 来表达，有点痛苦：你需要使用的大概是 dgemv_ 函数，而这个函数需要 11 个参数！我查阅了一下资料之后，也就放弃了给你展示一下如何调用 dgemv_ 的企图，我们还是老老实实地看一下在现代 C++ 里的写法吧：


#include <armadillo>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
  // 代表位置的向量
  arma::vec pos{1.0, 0.0};

  // 旋转矩阵
  auto& pi = arma::datum::pi;
  double angle = pi / 2;
  arma::mat rot = {
    {cos(angle), -sin(angle)},
    {sin(angle), cos(angle)}};

  cout << "Current position:\n"
       << pos;
  cout << "Rotating "
       << angle * 180 / pi
       << " deg\n";

  arma::vec new_pos = rot * pos;
  cout << "New position:\n"
       << new_pos;
}

这就是使用 Armadillo [7] 库来实现矢量旋转的代码。这个代码，基本就是上面的数学公式的一一对应了。代码相当直白，我只需要稍稍说明一下：

  • 所有的 Armadillo 的类型和函数都定义在 arma 名空间下。
  • Armadillo 在 arma::datum 下定义了包括 pi 和 e 在内的一些数学常量。
  • vec 是矢量类型，mat 是矩阵类型，这两个类型实际上是 Col 和 Mat 的缩写别名。
  • Armadillo 支持使用 C++11 的列表初始化语法来初始化对象。
  • Armadillo 支持使用流来输出对象。

上面代码的输出为：

Current position:

1.0000

0

Rotating 90 deg

New position:

6.1232e-17

1.0000e+00

输出里面的 6.1232e-17 是浮点数表示不精确的后果，把它理解成 0 就对了。

我们上面已经提到了 vec 实际上是 Col，双精度浮点数类型的列矢量。自然，Armadillo 也有行矢量 rowvec（即 Row），也可以使用其他的数字类型，如 int、 float 和 complex。此外，除了大小不确定的线性代数对象之外，Armadillo 也提供了固定大小的子类型，如 vec::fixed<2> 和 mat::fixed<2, 2>；为方便使用，还提供了不少别名，如 imat22 代表 Mat::fixed<2, 2> 等。固定大小的对象不需要动态内存分配，使用上有一定的性能优势。

Armadillo 是一个非常复杂的库，它的头文件数量超过了 500 个。我们今天不可能、也不必要描述它的所有功能，只能稍稍部分列举一下：

  • 除了目前提到的列矢量、行矢量和矩阵外，Armadillo 也支持三维的数据立方体，Cube 模板。
  • Armadillo 支持稀疏矩阵，SpMat 模板。
  • 除了数学上的加、减、乘运算，Armadillo 支持按元素的乘法、除法、相等、不等、小于比较等（使用 %、/、==、!=、< 等）运算，结果的大小跟参数相同，每个元素是相应运算的结果。某些运算符可能不太直观，尤其是 %（不是取模）和 ==（返回不是单个布尔值，而是矩阵）。
  • Armadillo 支持对非固定大小的矢量、矩阵和立方体，改变其大小（.reshape() 和 resize()）。
  • Armadillo 可以方便地按行（.col()）、列（.row()）、对角线（.diag()）读写矩阵的内容，包括用一个矢量去改写矩阵的对角线。
  • Armadillo 可以方便地对矩阵进行转置（.t()）、求反（.inv()）。
  • Armadillo 可以对矩阵进行特征分解（eigen_sym()、eigen_gen() 等）。
  • Armadillo 支持傅立叶变换（fft()、fft2() 等）。
  • Armadillo 支持常见的统计计算，如平均值、中位值、标准偏差等（mean()、median()、stddev() 等）。
  • Armadillo 支持多项式方程求根（roots）。
  • Armadillo 支持 k‐平均聚类（k-means clustering）算法（kmeans）。
  • 等等。

如果你需要用到这些功能，你可以自己去查看一下具体的细节，我们这儿只提几个与编程有关的细节。

对象的输出

我们上面已经展示了直接把对象输出到一个流。我们的写法是：


cout << "Current position:\n"
     << pos;

实际上基本等价于调用 print 成员函数：


pos.print("Current position:");

这个写法可能会更简单些。此外，在这两种情况，输出的格式都是 Armadillo 自动控制的。如果你希望自己控制的话，可以使用 raw_print 成员函数。比如，对于上面代码里对 new_pos 的输出，我们可以写成（需要包含 ）：


cout << fixed << setw(9)
     << setprecision(4);
new_pos.raw_print(
  cout, "New position:");

这种情况下，你可以有效地对格式、宽度和精度进行设置，能得到：

New position:

0.0000

1.0000

记得我们说过 vec 是 Col 的别名，因此输出是多行的。我们要输出成单行的话，转置（transpose）一下就可以了：


cout << fixed << setw(9)
     << setprecision(4);
new_pos.t().raw_print(
  cout, "New position:");

输出为：

New position:

0.0000 1.0000

表达式模板

如果你奇怪前面 dgemv_ 为什么有 11 个参数，这里有个我没有提的细节是，它执行的实际上是个复合操作：


$y←αA⋅x+βy$

如果你只是简单地做乘法的话，就相当于 \(α\) 为 1、\(β\) 为 0 的特殊情况。那么问题来了，如果你真的写了类似于上面这样的公式的话，编译器和线性代数库能不能转成合适的调用、而没有额外的开销呢？

答案是，至少在某些情况下是可以的。秘诀就是表达式模板（expression template）[8]。

那什么是表达式模板呢？我们先回过去看我上面的例子。有没有注意到我写的是：


arma::vec new_pos = rot * pos;

而没有使用 auto 来声明？

其中部分的原因是，rot * pos 的类型并不是 vec，而是：


const Glue<Mat<double>, Col<double>, glue_times>

换句话说，结果是一个表达式，而并没有实际进行计算。如果我用 auto 的话，行为上似乎一切都正常，但我每次输出这个结果时，都会重新进行一次矩阵的乘法！而我用 arma::vec 接收的话，构造时就直接进行了计算，存储了表达式的结果。

上面的简单例子不能实际触发对 dgemv_ 的调用，我用下面的代码实际验证出了表达式模板产生的优化（fill::randu 表示对矢量和矩阵的内容进行随机填充）：


#include <armadillo>
#include <iostream>

using namespace std;
using namespace arma;

int main()
{
  vec x(8, fill::randu);
  mat r(8, 8, fill::randu);
  vec result = 2.5 * r * x;
  cout << result;
}

赋值语句右边的类型是：


const Glue<eOp<Mat<double>,
               eop_scalar_times>,
           Col<double>, glue_times>

当使用这个表达式构造 vec 时，就会实际发生对 dgemv_ 的调用。我也确实跟踪到了，在将要调用 dgemv_ 时，标量值 2.5 确实在参数 alpha 指向的位置上（这个接口的参数都是指针）。

从上面的描述可以看到，表达式模板是把双刃剑：既可以提高代码的性能，又能增加代码被误用的可能性。在可能用到表达式模板的地方，你需要注意这些问题。

平台细节

Armadillo 的文档里说明了如何从源代码进行安装，但在 Linux 和 macOS 下通过包管理器安装可能是更快的方式。在 CentOS 下可使用 sudo yum install armadillo-devel，在 macOS 下可使用 brew install armadillo。使用包管理器一般也会同时安装常见的依赖软件，如 ARPACK 和 OpenBLAS。

在 Windows 上，Armadillo 的安装包里自带了一个基本版本的 64 位 BLAS 和 LAPACK 库。如果需要更高性能或 32 位版本的话，就需要自己另外去安装了。除非你只是做一些非常简单的线性代数计算（就像我今天的例子），那直接告诉 Armadillo 不要使用第三方库也行。

cl /EHsc /DARMA_DONT_USE_BLAS /DARMA_DONT_USE_LAPACK …

Boost.Multiprecision

众所周知，C 和 C++（甚至推而广之到大部分的常用编程语言）里的数值类型是有精度限制的。比如，上一讲的代码里我们就用到了 INT_MIN，最小的整数。很多情况下，使用目前这些类型是够用的（最高一般是 64 位整数和 80 位浮点数）。但也有很多情况，这些标准的类型远远不能满足需要。这时你就需要一个高精度的数值类型了。

有一次我需要找一个高精度整数类型和计算库，最后找到的就是 Boost.Multiprecision [9]。它基本满足我的需求，以及一般意义上对库的期望：

  • 正确实现我需要的功能
  • 接口符合直觉、易用
  • 有良好的性能

正确实现功能这点我就不多讲了。这是一个基本出发点，没有太多可讨论的地方。在我上次的需求里，对性能其实也没有很高的要求。让我对 Boost.Multiprecision 满意的主要原因，就是它的接口了。

接口易用性

我在[第 12 讲] 提到了 CLN。它对我来讲就是个反面教材。它的整数类型不仅不提供 % 运算符，居然还不提供 / 运算符！它强迫用户在下面两个方案中做出选择：

  • 使用 truncate2 函数，得到一个商数和余数
  • 使用 exquo 函数，当且仅当可以整除的时候

不管作者的设计原则是什么，这简直就是易用性方面的灾难了——不仅这些函数要查文档才能知晓，而且有的地方我真的只需要简单的除法呀……

哦，对了，它在 Windows 编译还很不方便，而我那时用的正是 Windows。

Boost.Multiprecision 的情况则恰恰相反，让我当即大为满意：

  • 使用基本的 cpp_int 对象不需要预先编译库，只需要 Boost 的头文件和一个好的编译器。
  • 常用运算符 +、-、*、/、% 一个不缺，全部都有。
  • 可以自然地通过整数和字符串来进行构造。
  • 提供了用户自定义字面量来高效地进行初始化。
  • 在使用 IO 流时，输入输出既可以使用十进制，也可以通过 hex 来切换到十六进制。

下面的代码展示了它的基本功能：


#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

using namespace std;

int main()
{
  using namespace boost::
    multiprecision::literals;
  using boost::multiprecision::
    cpp_int;

  cpp_int a =
    0x123456789abcdef0_cppi;
  cpp_int b = 16;
  cpp_int c{"0400"};
  cpp_int result = a * b / c;
  cout << hex << result << endl;
  cout << dec << result << endl;
}

输出是：

123456789abcdef

81985529216486895

我们可以看到，cpp_int 可以通过自定义字面量（后缀 _cppi；只能十六进制）来初始化，可以通过一个普通整数来初始化，也可以通过字符串来初始化（并可以使用 0x 和 0 前缀来选择十六进制和八进制）。拿它可以正常地进行加减乘除操作，也可以通过 IO 流来输入输出。

性能

Boost.Multiprecision 使用了表达式模板和 C++11 的移动来避免不必要的拷贝。后者当然是件好事，而前者曾经坑了我一下——我第一次使用 Boost.Multiprecision 时非常困惑为什么我使用 half(n - 1) 调用下面的简单函数居然会编译不过：


template <typename N>
inline N half(N n)
{
  return n / 2;
}

我的意图当然是 N 应当被推导为 cpp_int，half 的结果也是 cpp_int。可实际上，n - 1 的结果跟上面的 Armadillo 展示的情况类似，是另外一个单独的类型。我需要把 half(n - 1) 改写成 half(N(n - 1)) 才能得到期望的结果。

我做的计算挺简单，并不觉得表达式模板对我的计算有啥帮助，所以我最后是禁用了表达式模板：


typedef boost::multiprecision::
  number<
    boost::multiprecision::
      cpp_int_backend<>,
    boost::multiprecision::et_off>
    int_type;

类似于 Armadillo 可以换不同的 BLAS 和 LAPACK 实现，Boost.Multiprecision 也可以改换不同的后端。比如，如果我们打算使用 GMP [10] 的话，我们需要包含利用 GMP 的头文件，并把上面的 int_type 的定义修正一下：


#include <boost/multiprecision/gmp.hpp>

typedef boost::multiprecision::
  number<
    boost::multiprecision::gmp_int,
    boost::multiprecision::et_off>
    int_type;

注意，我并不是推荐你换用 GMP。如果你真的对性能非常渴求的话，应当进行测试来选择合适的后端。否则缺省的后端易用性最好——比如，使用 GMP 后端就不能使用自定义字面量了。

我当时寻找高精度算术库是为了做 RSA 加解密。计算本身不复杂，属于编程几小时、运行几毫秒的情况。如果你有兴趣的话，可以看一下我那时的挑选过程和最终代码 [11]。

Boost 里好东西很多，远远不止这一样。下一讲我们就来专门聊聊 Boost。

内容小结

本讲我们讨论了两个进行计算的模板库，Armadillo 和 Boost.Multiprecision，并讨论了它们用到的表达式模板技巧和相关的计算库，如 BLAS、LAPACK 和 GMP。可以看到，使用 C++ 你可以站到巨人肩上，轻松写出高性能的计算代码。

课后思考

性能和易用性往往是有矛盾的。你对性能和易用性有什么样的偏好呢？欢迎留言与我分享。

参考资料

[1] Wikipedia, “Basic Linear Algebra Subprograms”. https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms

[2] Wikipedia, “LAPACK”. https://en.wikipedia.org/wiki/LAPACK

[3] Wikipedia, “ARPACK”. https://en.wikipedia.org/wiki/ARPACK

[4] Zhang Xianyi et al., OpenBLAS. https://github.com/xianyi/OpenBLAS

[5] Intel, Math Kernel Library. https://software.intel.com/mkl

[6] Ilya Yaroshenko, mir-glas. https://github.com/libmir/mir-glas

[7] Conrad Sanderson and Ryan Curtin, “Armadillo: C++ library for linear algebra & scientific computing”. http://arma.sourceforge.net/

[8] Wikipedia, “Expression templates”. https://en.wikipedia.org/wiki/Expression_templates

[9] John Maddock, Boost.Multiprecision. https://www.boost.org/doc/libs/release/libs/multiprecision/doc/html/index.html

[10] The GNU MP bignum library. https://gmplib.org/

[11] 吴咏炜, “Choosing a multi-precision library for C++—a critique”. https://yongweiwu.wordpress.com/2016/06/04/choosing-a-multi-precision-library-for-c-a-critique/

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